Complementi di meccanica quantistica: seconda
quantizzazione, matrice S termica
Richiami di termodinamica e
fluttuazioni termodinamiche
Fondamenti della meccanica statistica
Meccanica statistica classica e quantistica, teoria della
risposta lineare
Teoria di campo medio e
transizioni di fase
Programma
Dettagliato Complementi di meccanica quantistica
Il campo e/m classico come insieme di oscillatori, quantizzazione
del campo e/m
Quantizzazione del campo di oscillazione in un solido
monoatomico,
fononi, operatori di creazione/distruzione,operatore di campo in teoria
non relativistica
Campo quantizzato di materia, ampi di particelle e loro regole di
commutazione/anticommutazione per bosoni e fermioni, espressione degli
operatori ad 1 e 2 particelle, diagrammi di
interazione, caso del potenziale di coppia in un sistema invariante per
traslazione, teoria dei campi classica e sua relazione con l'analogo
quantistico, fattorizzazioni di campo media: Hartree, Fock, BCS
Rappresentazione di
interazione, evoluzione dello stato, serie di Dyson, T-ordinamento.
Tempo euclildeo ed espressione della matrice densità
d'equilibrio di un
sistema. Teoria delle perturbazioni in meccanica statistica. Calcolo al
primo ordine dell'energia libera della media di un generico operatore,
limite classico.
Teoria della risposta lineare in
meccanica quantistica e suo limite classico. Esempio di campo scalare
accoppiato alla densità.
Modello tight binding, modello di Hubbard
(definizione + esercizio modello a 2 siti) transizione metallo isolante
(cenni),. Stato di Gross Pitaevskij
per bosoni e sue proprietà in relazione agli stati numero
(esercizio).
Integrale sui cammini per la funzione di partizione di una
particella, discretizzazione equivalenza con il problema classico del
polimero, limite classico, passaggio al tempo reale, integrale sui
cammini di Feynman
Richiami di termodinamica e
fluttuazioni termodinamiche
Potenziali termodinamici, equilibrio sistemi isolati, chiusi,
aperti
Termodinamica, potenziali termodinamici, variabili
naturali,variabili estensive/intensive, relazione di Gibbs Duhem,
trasformazione di Legendre fra potenziali termodinamici.
Sistema
termodinamico in un bagno definizione di disponibilità
Condizioni di stabilità e fluttuazioni di un sistema
termodinamico in
un bagno esterno, limite termodinamico, risposta lineare per le
fluttuazioni termodinamiche, correzione esercizi.
Fondamenti della meccanica statistica
caratteristiche generali del moto Hamiltoniano, singola
traiettoria, teorema di Poicare, evoluzione dei un ensemble di dati
iniziali media sull'ensemble, medie temporali, correzione esercizi
Matrice densità e sue proprietà, medie temporali e
sull'ensemble
quantistiche, evoluzione della matrice denistà, teorema di
Liouville,
evoluzione ergodica, evluzione mixing, relazione fra ergodicità
e
mixing, teoremi ergodici di Birkoff (solo enunciato), stima del tempo
di ritorno, dephasing,
gerarchia BBGKY, equazione di evoluzione per la densità
ridotta a s
particelle, caso esplicito di s=1 ed s=2
Dalla gerarchia BBGKY alla equazione di Boltzmann l'ipotesi di
caos molecolare, l'equazione di Boltzmann, teorema H
Tempo di rilassamento nella equazione di Boltzmann, significato
dell'ipotesi di caos molecolare, ricorrenza, modello di Kac. Moto di
una particella in un bagno esterno.
Moto di una
particella in un bagno esterno, distribuzione Ohmica degli
accoppiamenti. Equazione di Langevin, rumonre bianco, scorrelazione
delle velocità, diffusione in una dimensione.
Simulazioni del moto di una particella in un bagno di
oscillatori, tempo di ricorrenza.
Sistema quantistico
interagente con un bagno, matrice densità ridotta, purezza di
uno
stato, dissipazione e decoerenza nell'evoluzione della matrice
densità
ridotta
Meccanica statistica classica e quantistica, teoria della risposta
lineare
Entropia microcanonica, estensività e secondo principio.
Formula di Sakur-Tetrode, non estensività della entropia
microcanonica, corretto conteggio di Boltzmann, esperimento di Sakur e
Tetrode, entropia microcanonica nel caso quantistico.
Matrice densità ridotta, passaggio dall'insieme
microcanonico
all'insieme canonico e dall'insieme canonico all'insieme grancanonico
attraverso la riduzione dei gradi di libertà del bagno.
Potenziale
termodinamico nell'insieme canonico. Fluttuazioni dell'energia. Formula
generale per il passaggio da un enseble all'altro.
Equipartizione generalizzata, teorema del viriale, calcolo
viriale per
un sistema invariante per traslazione ed isotropo, g(r) e suo
significato,
g(r) per un gas debolmente interagente, per un liquido, per un solido.
Equazione di stato coefficienti dell'espansione del viriale.
Esempio
delle sfere dure. Statistiche quantistiche. Gas perfetto quantistico
nell'insieme grancanonico.
Equazione di stato dei gas
quantistici nel limite di bassa degenerazione.
Teoria di campo medio e transizioni di
fase
Principio variazionale in meccanica statistica classica e
quantistica. Uso del principo variazionale Hamiltoniano effettivo,
espressione dell'energia libera con il principo variazionale.
Modello di Ising, termodinamica e meccanica statistica, simmetrie
e
valori medi, teoria di campo medio, transizione di fase punto critico
esponenti critici alpha e beta, teoria di campo medio come
linerizzazione dell'Hamiltoniano, parametro d'ordine
Teoria di campo medio dal principio variazionale
Teoria di Landau
delle transizioni di fase di secondo ordine, indici critici classici,
correlazioni spaziali forma di Ornstein-Zernike lunghezza di
correlazione vicino al punto critico
Modello di
Ising a range infinito, rottura spontanea delle simmetria, inesistenza
delle transizioni di fase per sistemi finiti: teorema di Lee-Yang (solo
enunciato), validità della teoria di campo medio:
dimensionalità
critica inferiore, inesistenza della transizione di fase nel modello di
Ising a 1 dimensione, Criterio di Ginzburg per la validità
dellla
teoria di campo medio.
Ruolo delle componenti del
paramatro d'ordine, rosstura di una simmetria continua Teorema di
Mermin e Wagner (solo enunciato), transizione di Kosterliz e Thouless.
Transizione superconduttiva e rottura delle simmetria di gauge
(cenni)
Esercizi svolti
I
1) campo classico come insieme di oscillatori
2) proprietà del campo di particelle
II
1) 2-Quant per 2 particelle in 2 stati
2) diagramma di interazione per potenziale invariante per
traslazione
3) regole di commutazione per gli operatori di campo
4) commutatore [H,N]
III
1) Trasf. Legendre da F a Ω
2) da U a F
3) relazioni di Maxwell
4) relazione di Gibbs Duhem
IV
1) Tight binding con operatori a e a+
2) calcolo U
3) modello di Hubbard a 2 siti
4) stati di Gross Pitaevskij
V
1) Fluttuaz. entropia e pressione
2) fluttuazioni sistema aperto
3) stabilità sistema aperto
4) disponibilità sistema in campo magnetico
VI
1) Es. 6.4 Reikl e mappa di Arnold
2) evoluzione di un ensemble di oscillatori con una data distribuzione
di fase
3) matrice densità
4) densità a 2 particelle
VII
1) modello di Kac
2) stima tempo di Poincarè
VIII
1) sistema in un "bagno" di oscillatori, equazione del moto effettiva
per il sistema, equazione di Langevin
2) rilassamento della velocità
IX
1) eq. di stato Lennard-Jones ad alta Temp.
2) eq. di stato per le sfere dure su reticolo
3) espansione a piccoli z gas perf. quant.
X
1) modello di Ising a d=1 con le matrici di trasferimento
2) insieme isobarico
3) distribuzione del numero di particelle
4) spin indipendenti canico/microcanonico
XI
1) funzioni termodinamiche nella teoria di Landau
2) modello di Ising in campo trasv. a T=0 in teoria di campo medio
XII
1) il gas di reticolo nella teoria di campo medio, potenziale di
Landau, potenziali termodinamici ed equazione di stato
Libri di Testo
J.J. Sakurai "Meccanica quantistica moderna"
K. Huang "Statistical Mechanics" 2nd edition
D. Chandler "introduction to modern statistical mechanics"
A. Reichl "A modern course in statistical physics"
D. Wu and D. Chandler "introduction to modern statistical
mechanics" solution manuals
D.A.R. Dalvit et al. "Problems on statistical mechanics"